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<!DOCTYPE html>

</head>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Eine <b>T-Norm</b>, oft auch klein <i>t-Norm</i>, ist eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">mathematische Funktion</a>, die im Bereich <a href="Mehrwertige_Logik" title="Mehrwertige Logik">mehrwertiger Logiken</a>, insbesondere in der <a href="Fuzzy-Logik" class="mw-redirect" title="Fuzzy-Logik">Fuzzy-Logik</a>, Bedeutung erlangt hat. Der Begriff leitet sich vom Englischen <i>triangular norm</i>, zu Deutsch <i>Dreiecksnorm</i> ab, und rührt daher, dass eine T-Norm eine dreiecksähnliche Fläche im <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"></span> beschreibt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<p>Eine T-Norm ist auf dem <a href="Einheitsintervall" class="mw-redirect" title="Einheitsintervall">Einheitsintervall</a> [0,1] definiert

</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfebcff547b4828da84b039f70e0777a51f73bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.986ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]}" loading="lazy"></span>

</p><p>und muss folgende Eigenschaften aufweisen (zur exakten Definition dieser Eigenschaften siehe die Tabelle zu T-Norm und T-Conorm am Ende dieses Artikels):

</p>

<ul><li><a href="Assoziativit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Assoziativität">Assoziativität</a>: T(<i>a</i>, T(<i>b</i>, <i>c</i>)) = T(T(<i>a</i>, <i>b</i>), <i>c</i>)</li>

<li><a href="Kommutativit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Kommutativität">Kommutativität</a>: T(<i>a</i>, <i>b</i>) = T(<i>b</i>, <i>a</i>)</li>

<li><a href="Monotonie_(Logik)" title="Monotonie (Logik)">Monotonie</a>: T(<i>a</i>, <i>b</i>) ≤ T(<i>c</i>, <i>d</i>), falls <i>a</i> ≤ <i>c</i> und <i>b</i> ≤ <i>d</i></li>

<li>1 ist <a href="Neutrales_Element" title="Neutrales Element">neutrales Element</a>: T(<i>a</i>, 1) = <i>a</i></li></ul>

<p>Die T-Norm dient dazu, für <a href="Mehrwertige_Logik" title="Mehrwertige Logik">mehrwertige Logiken</a> einen verallgemeinerten <a href="Konjunktion_(Logik)" title="Konjunktion (Logik)">Konjunktions</a>-<a href="Operator_(Mathematik)" title="Operator (Mathematik)">Operator</a> zu stellen. Die oben genannten Eigenschaften sind gleichsam allgemeinste Eigenschaften eines solchen Operators: Assoziativität und Kommutativität sind selbstverständlich. Die Monotonie garantiert eine gewisse Regelmäßigkeit in der Struktur von Definitions- und Zielmenge. Die „1“ als neutrales Element ermöglicht Konjunktionen, deren Ergebnis nur von einem Operanden abhängt.

</p><p>Diese Eigenschaften werden im Zusammenhang mit <a href="Fuzzy-Menge" title="Fuzzy-Menge">Fuzzy-Mengen</a> verwendet, um die <a href="Schnittmenge" class="mw-redirect" title="Schnittmenge">Schnittmengen</a>-Operation nachzubilden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="T-Conormen">T-Conormen</h2></div>

<p>Komplementär zu T-Normen werden <i>T-Conormen</i> (auch <i>S-Normen</i> genannt) verwendet, als <a href="Bezeichner" title="Bezeichner">Bezeichner</a> ist entsprechend ⊥ oder S üblich:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bot (a,b)=1-\top (1-a,1-b).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c99d4e0de642a4d7aaa821f65fd75bd00a49b20c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \bot (a,b)=1-\top (1-a,1-b).}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Mit Hilfe der <a href="De_Morgansche_Gesetze" class="mw-redirect" title="De Morgansche Gesetze">De Morganschen Gesetze</a> lässt sich auf der Basis einer T-Norm, welche Konjunktion bzw. Schnittmenge liefert, und einer <a href="Negation" title="Negation">Negation</a> die <a href="Disjunktion" title="Disjunktion">Disjunktions</a>- bzw. die <a href="Vereinigungsmenge" class="mw-redirect" title="Vereinigungsmenge">Vereinigungsmengen</a>-Operation ableiten.

</p><p>Verallgemeinerung: Es kann ein anderer als der Standard-Negator

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {n} (x)=1-x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d8200af81ce94c75eca3efbebcf98337f6934a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.862ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {n} (x)=1-x}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>verwendet werden. Damit wird obige Beziehung verallgemeinert zu

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bot (a,b)=\operatorname {n} (\top (\operatorname {n} (a),\operatorname {n} (b))).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f556021af2cc4ed94710e954e41954ad921ddba0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.808ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \bot (a,b)=\operatorname {n} (\top (\operatorname {n} (a),\operatorname {n} (b))).}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die Mindestanforderungen an einen Negator sind im Allgemeinen: Monotonie (fallend), n(0)=1, n(1)=0.<br>

In diesem Zusammenhang wird aber <i>strenge</i> Monotonie und Involutivität n(n(<i>x</i>)) = x, d. h. n = n<sup>−1</sup>, gefordert:<br>

Das Tripel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\top ,\bot ,n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\top ,\bot ,n)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ec349d138c468119c6daf3e181950584d01607e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.888ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\top ,\bot ,n)}" loading="lazy"></span> heißt dann De-Morgan-Triplett.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geläufige_T-Normen_und_T-Conormen"><span id="Gel.C3.A4ufige_T-Normen_und_T-Conormen"></span>Geläufige T-Normen und T-Conormen</h2></div>

<mtr>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

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</msub>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

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<mtd>

<mrow>

<mtr>

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</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mstyle>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mstyle>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>sonst</mtext>

</mstyle>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

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</mrow>

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</mrow>

</mtd>

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</mtd>

<mtd>

<mrow>

<mtr>

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</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mstyle>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mstyle>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>sonst</mtext>

</mstyle>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {\top _{min}} (a,b)&=&\min\{a,b\}&\mathrm {\bot _{max}} (a,b)&=&\max\{a,b\}\\\\\mathrm {\top _{Luka}} (a,b)&=&\max\{0,a+b-1\}&\mathrm {\bot _{Luka}} (a,b)&=&\min\{a+b,1\}\\\\\mathrm {\top _{prod}} (a,b)&=&a\cdot b&\mathrm {\bot _{sum}} (a,b)&=&a+b-a\cdot b\\\\\mathrm {\top _{-1}} (a,b)&=&\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{falls }}b=1\\b,&{\mbox{falls }}a=1\\0,&{\mbox{sonst}}\end{matrix}}\right.&\mathrm {\bot _{-1}} (a,b)&=&\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{falls }}b=0\\b,&{\mbox{falls }}a=0\\1,&{\mbox{sonst}}\end{matrix}}\right.\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec5fc4463e4c34d013652d98dd55923c590a2c84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -14.005ex; width:72.555ex; height:29.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {\top _{min}} (a,b)&=&\min\{a,b\}&\mathrm {\bot _{max}} (a,b)&=&\max\{a,b\}\\\\\mathrm {\top _{Luka}} (a,b)&=&\max\{0,a+b-1\}&\mathrm {\bot _{Luka}} (a,b)&=&\min\{a+b,1\}\\\\\mathrm {\top _{prod}} (a,b)&=&a\cdot b&\mathrm {\bot _{sum}} (a,b)&=&a+b-a\cdot b\\\\\mathrm {\top _{-1}} (a,b)&=&\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{falls }}b=1\\b,&{\mbox{falls }}a=1\\0,&{\mbox{sonst}}\end{matrix}}\right.&\mathrm {\bot _{-1}} (a,b)&=&\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{falls }}b=0\\b,&{\mbox{falls }}a=0\\1,&{\mbox{sonst}}\end{matrix}}\right.\end{matrix}}}" loading="lazy"></span>

</p><p>Die angegebenen T-Conormen sind jeweils bezüglich der Standardnegation N(x)=1-x zur entsprechenden T-Norm dual, also über die De Morganschen Gesetze verknüpft. Mit anderen <a href="Involution_(Mathematik)" title="Involution (Mathematik)">involutiven</a> Negationen ergeben sich im Allgemeinen auch andere T-Conormen.

</p><p>Die erstgenannte wird wegen ihrer Einfachheit und ihrer unten genannten Eigenschaften am häufigsten eingesetzt. Die 3. T-Norm, sowie deren T-Conorm kommen aus der <a href="Wahrscheinlichkeitsrechnung" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsrechnung">Wahrscheinlichkeitsrechnung</a>.

Weiterhin gelten folgende Zusammenhänge:

</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {\top _{-1}} (a,b)&\leq &\top (a,b)&\leq &\mathrm {\top _{min}} (a,b)\\\mathrm {\bot _{max}} (a,b)&\leq &\bot (a,b)&\leq &\mathrm {\bot _{-1}} (a,b)\end{matrix}}}">

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

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<mtr>

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<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

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</mtd>

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</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {\top _{-1}} (a,b)&\leq &\top (a,b)&\leq &\mathrm {\top _{min}} (a,b)\\\mathrm {\bot _{max}} (a,b)&\leq &\bot (a,b)&\leq &\mathrm {\bot _{-1}} (a,b)\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7eb2ceb2b2286a402bfb20de5d30e3b63ca75a20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.558ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {\top _{-1}} (a,b)&\leq &\top (a,b)&\leq &\mathrm {\top _{min}} (a,b)\\\mathrm {\bot _{max}} (a,b)&\leq &\bot (a,b)&\leq &\mathrm {\bot _{-1}} (a,b)\end{matrix}}}" loading="lazy"></span><br>D. h., dass die drastische T-Norm (T<sub>-1</sub>) die kleinste und die Minimum-T-Norm die größte ist. Umgekehrtes gilt für die T-Conorm. T(a, b) bzw. ⊥(a, b) steht hierbei für jede beliebige T-Norm bzw. T-Conorm.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhänge_zwischen_T-Norm_und_T-Conorm"><span id="Zusammenh.C3.A4nge_zwischen_T-Norm_und_T-Conorm"></span>Zusammenhänge zwischen T-Norm und T-Conorm</h2></div>

<p>Aufgrund der schon erwähnten De Morganschen Gesetze ergeben sich folgende komplementären Zusammenhänge:

</p>

<p>Den obigen Axiomen für T-Normen entsprechen folgende Bedingungen für eine T-Conorm:

</p>

<th>

</th>

<th style="text-align:left; background:#F0F0F0;">T-Norm

</th>

<th style="text-align:left; background:#F0F0F0;">T-Conorm

</th></tr>

<tr>

<td style="background-color:#F0F0F0">Nullelement:

</td>

<td>T(0,a) = T(a,0) = 0

</td>

<td>⊥(a,1) = ⊥(1,a) = 1

</td></tr>

<tr>

<td style="background-color:#F0F0F0">Neutrales Element:

</td>

<td>T(a,1) = T(1,a) = a

</td>

<td>⊥(0,a) = ⊥(a,0) = a

</td></tr>

<tr>

<td style="background-color:#F0F0F0">Assoziativität:

</td>

<td>T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)

</td>

<td>⊥(a,⊥(b,c)) = ⊥(⊥(a,b),c)

</td></tr>

<tr>

<td style="background-color:#F0F0F0">Kommutativität:

</td>

<td>T(a,b) = T(b,a)

</td>

<td>⊥(a,b) = ⊥(b,a)

</td></tr>

<tr>

<td style="background-color:#F0F0F0">Monotonie:

</td>

<td>a ≤ b ⇒ T(a,c) ≤ T(b,c)

</td>

<td>a ≤ b ⇒ ⊥(a,c) ≤ ⊥(b,c)

</td></tr></tbody></table>

<p>Diese Beziehungen gelten nicht nur für den Standard-Negator, sondern für jedes De-Morgan-Triplett.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhang_zwischen_T-Norm_und_Copula">Zusammenhang zwischen T-Norm und Copula</h2></div>

<p>Eine T-Norm hat die <i>positive Rechteck-Eigenschaft</i>, wenn für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}\leq a_{2},b_{1}\leq b_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}\leq a_{2},b_{1}\leq b_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8beca0d8f9588616c3a16a69e57bb32ab9228f08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.903ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{1}\leq a_{2},b_{1}\leq b_{2}}" loading="lazy"></span> gilt:

</p>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {\top } (a_{1},b_{1})+\mathrm {\top } (a_{2},b_{2})-\mathrm {\top } (a_{1},b_{2})-\mathrm {\top } (a_{2},b_{1})\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbfc4bda35280418403c96737781df4ae4864b0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.731ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {\top } (a_{1},b_{1})+\mathrm {\top } (a_{2},b_{2})-\mathrm {\top } (a_{1},b_{2})-\mathrm {\top } (a_{2},b_{1})\geq 0}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Jede T-Norm mit positiver Rechteck-Eigenschaft ist eine bivariate <a href="Copula_(Mathematik)" title="Copula (Mathematik)">Copula</a> (siehe Grabisch et al. 2009). Von obigen Beispielen sind <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {\top _{min}} ,\mathrm {\top _{Luka}} ,\mathrm {\top _{prod}} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {\top _{min}} ,\mathrm {\top _{Luka}} ,\mathrm {\top _{prod}} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8088151b7e765f377a29c9670db55c62a912b2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.855ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {\top _{min}} ,\mathrm {\top _{Luka}} ,\mathrm {\top _{prod}} }" loading="lazy"></span> gleichzeitig Copulae, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {\top _{-1}} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {\top _{-1}} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a96278c9872cff1144bcace2a73a52bac25c5fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.141ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {\top _{-1}} }" loading="lazy"></span> jedoch nicht.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Frank Klawonn, Rudolf Kruse, Andreas Nürnberger: <cite style="font-style:italic">Fuzzy-Regelung: Grundlagen, Entwurf, Analyse</cite>. Springer Verlag, Heidelberg 2002, ISBN 3-642-55812-7, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>15<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>ff</span>. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=i-qGRdUakhYC&pg=PA15#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:T-Norm&rft.au=Frank+Klawonn%2C+Rudolf+Kruse%2C+Andreas+N%C3%BCrnberger&rft.btitle=Fuzzy-Regelung%3A+Grundlagen%2C+Entwurf%2C+Analyse&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=3642558127&rft.pages=15+ff.&rft.place=Heidelberg&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Horst_St%C3%B6cker" title="Horst Stöcker">Horst Stöcker</a>: <cite style="font-style:italic">Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren</cite>. <a href="Verlag_Harri_Deutsch" title="Verlag Harri Deutsch">Verlag Harri Deutsch</a>, Frankfurt am Main 2007, ISBN 978-3-8171-1811-3, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>727<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>f</span>. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=SEUOgXkZVD4C&pg=PA727#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:T-Norm&rft.au=Horst+St%C3%B6cker&rft.btitle=Taschenbuch+mathematischer+Formeln+und+moderner+Verfahren&rft.date=2007&rft.genre=book&rft.isbn=9783817118113&rft.pages=727+f.&rft.place=Frankfurt+am+Main&rft.pub=Verlag+Harri+Deutsch" style="display:none"> </span></li>

<li>Siegfried Gottwald: <cite style="font-style:italic">Mehrwertige Logik: Eine Einführung in Theorie und Anwendungen</cite>. Akademie Verlag, Berlin 1989, ISBN 3-05-000765-6, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>172<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>f</span>. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=MePG64AJ5C4C&pg=PA172#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:T-Norm&rft.au=Siegfried+Gottwald&rft.btitle=Mehrwertige+Logik%3A+Eine+Einf%C3%BChrung+in+Theorie+und+Anwendungen&rft.date=1989&rft.genre=book&rft.isbn=3050007656&rft.pages=172+f.&rft.place=Berlin&rft.pub=Akademie+Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li>Grabisch,M., Marichal,J.-L., Mesiar,R. and E. Pap: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Aggregation Functions</cite>. Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-51926-7, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>56<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>f</span>. (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=gueKp7j49SMC&pg=PA1#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:T-Norm&rft.au=Grabisch%2CM.%2C+Marichal%2C+...&rft.btitle=Aggregation+Functions&rft.date=2009&rft.genre=book&rft.isbn=9780521519267&rft.pages=56+f.&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none"> </span></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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